赤道のコリオリ力

導出過程に於いて微分やベクトルを使用しており、主にベクトルの知識がない方を意識して解説している。そこで導出に入る前に、基礎知識としてベクトルの性質や微分の記法について、以下に纏めておく。

ここから導出の本題に入る。

• \( S \)系の\( z \)軸と\( S’ \)系の\( z’ \)軸は、共に\( S’ \)系の回転軸と一致する（\( \boldsymbol {ω} \)の向きはｚ’軸の正の方向と一致）。
• \( S \)系の原点\( O \)と\( S’ \)系の原点\( O’ \)は一致し、回転軸上にある。

図２　慣性系に対する回転座標系

• \( \boldsymbol{ r } \) 　　\( S \)系から眺めた質点の位置ベクトル（始点は原点\( O \)であり\( O’ \)でもある)。
• \( \boldsymbol { r }’ \)　　\( S’ \)系から眺めた質点の位置ベクトル（始点は原点\( O’ \)であり\( O \)でもある)。

左辺の微分

「\(
\dot{x} \boldsymbol { e_x }
+ \dot{y} \boldsymbol { e_y }
+ \dot{z} \boldsymbol { e_z }
\)」を微分すると、

１階微分の解説と同様に（②の左辺の微分を参照）、各項に対し「スカラー関数倍の微分」を行った上で、①を代入する。

\(
\ddot { x } \boldsymbol { e_x } + \ddot { y } \boldsymbol { e_y } + \ddot { z } \boldsymbol { e_z }
\)　……⑥

となる。

右辺の「\( \boldsymbol { ω } \)」が付かない３項の微分

「\(
\dot{x’} \boldsymbol { e_{x’} }
+ \dot{y’} \boldsymbol { e_{y’} }
+ \dot{z’} \boldsymbol { e_{z’} }
\)」を微分すると、

１階微分の解説と同様に（②の右辺の微分を参照）、次のことを行う。

• 各項に対し「スカラー関数倍の微分」を行った上で、②を代入することにより\( \dot{ \boldsymbol { e }’ } \)を使用しない式にする。
• 「ベクトル積の性質」を利用して整理する（括弧で括り\( \boldsymbol { ω } \)を括弧の外に出す）。

\(
\ddot { x’ } \boldsymbol { e_{x’} } + \ddot { y’ } \boldsymbol { e_{y’} } + \ddot { z’ } \boldsymbol { e_{z’} }
+ \boldsymbol { ω } \times ( \dot { x’ } \boldsymbol { e_{x’} } + \dot { y’ } \boldsymbol { e_{y’} } + \dot { z’ } \boldsymbol { e_{z’} } )
\)　……⑦

となる。

右辺の「\( \boldsymbol { ω } \)」が付く項の微分

「\(
\boldsymbol { ω } \times ( x’ \boldsymbol { e_{x’} } + y’ \boldsymbol { e_{y’} } + z’ \boldsymbol { e_{z’} } )
\)」を微分する。

\(
\require{physics} \dv{ }{ t } [ \ \boldsymbol { ω } \times ( x’ \boldsymbol { e_{x’} } + y’ \boldsymbol { e_{y’} } + z’ \boldsymbol { e_{z’} } ) \ ]
\)

「ベクトル関数の微分の性質」の「ベクトル積の微分」を利用。

\(
= \dot { \boldsymbol { ω } } \times ( x’ \boldsymbol { e_{x’} } + y’ \boldsymbol { e_{y’} } + z’ \boldsymbol { e_{z’} } )
+ \boldsymbol { ω } \times \require{physics} \dv{ }{ t } ( x’ \boldsymbol { e_{x’} } + y’ \boldsymbol { e_{y’} } + z’ \boldsymbol { e_{z’} } )
\)

地球は等速円運動をしているので、角速度ベクトル\( \boldsymbol { ω } \)は時間の経過に伴い変化することはなく一定である。従って、「\( \dot { \boldsymbol { ω } } = \boldsymbol { 0 } \)」であり、１項目が消える。

\(
= \boldsymbol { ω } \times \require{physics} \dv{ }{ t } ( x’ \boldsymbol { e_{x’} } + y’ \boldsymbol { e_{y’} } + z’ \boldsymbol { e_{z’} } )
\)

「ベクトル関数の微分の性質」の「スカラー関数倍の微分」を利用。

\(
= \boldsymbol { ω } \times ( \dot{ x’} \boldsymbol { e_{x’} } + x’ \dot{ \boldsymbol { e_{x’} } } + \dot{ y’} \boldsymbol { e_{y’} } + y’ \dot{ \boldsymbol { e_{y’} } } + \dot{ z’} \boldsymbol { e_{z’} }+ z’ \dot{ \boldsymbol { e_{z’} } } )
\)

「ベクトル積の性質」の「分配法則」を利用して、２つの括弧で（\( \boldsymbol { e}’ \)グループと\( \dot{ \boldsymbol { e}’ } \)グループに）分ける。

\(
= \boldsymbol { ω } \times ( \dot{x’} \boldsymbol { e_{x’} } + \dot{y’} \boldsymbol { e_{y’} } + \dot{z’} \boldsymbol { e_{z’} } )
+ \boldsymbol { ω } \times ( x’ \dot{ \boldsymbol { e_{x’} } } + y’ \dot{ \boldsymbol { e_{y’} } } + z’ \dot{ \boldsymbol { e_{z’} } } )
\)

２項目の括弧内（\( \dot{ \boldsymbol { e}’ } \)グループ）に対して、次のことを行う。

• ②を代入することにより\( \dot{ \boldsymbol { e }’ } \)を使用しない式にする。
• 「ベクトル積の性質」を利用して整理する（括弧で括り\( \boldsymbol { ω } \)を括弧の外に出す）。

\(
= \boldsymbol { ω } \times ( \dot{x’} \boldsymbol { e_{x’} } + \dot{y’} \boldsymbol { e_{y’} } + \dot{z’} \boldsymbol { e_{z’} } )
+ \boldsymbol { ω } \times [ \ \boldsymbol { ω } \times ( x’ \boldsymbol { e_{x’} } + y’ \boldsymbol { e_{y’} } + z’ \boldsymbol { e_{z’} } ) \ ]
\)　……⑧

以上により、④の両辺に対して時間微分すると、「⑥＝⑦＋⑧」であり、

\(
\ddot { x } \boldsymbol { e_x } + \ddot { y } \boldsymbol { e_y } + \ddot { z } \boldsymbol { e_z }
\)
\(
= \ddot { x’ } \boldsymbol { e_{x’} } + \ddot { y’ } \boldsymbol { e_{y’} } + \ddot { z’ } \boldsymbol { e_{z’} }
+ \boldsymbol { ω } \times ( \dot{x’} \boldsymbol { e_{x’} } + \dot{y’} \boldsymbol { e_{y’} } + \dot{z’} \boldsymbol { e_{z’} } )
\)
\(
+ \boldsymbol { ω } \times ( \dot{x’} \boldsymbol { e_{x’} } + \dot{y’} \boldsymbol { e_{y’} } + \dot{z’} \boldsymbol { e_{z’} } )
+ \boldsymbol { ω } \times [ \ \boldsymbol { ω } \times ( x’ \boldsymbol { e_{x’} } + y’ \boldsymbol { e_{y’} } + z’ \boldsymbol { e_{z’} } ) \ ]
\)

となり、更に整理すると

同じベクトルの足し算は、向きは変わらないが大きさが２倍になるので（\( \boldsymbol { a } + \boldsymbol { a } = 2 \boldsymbol { a } \)）、同じベクトルの項を１つの項に纏める。

\(
\ddot { x } \boldsymbol { e_x } + \ddot { y } \boldsymbol { e_y } + \ddot { z } \boldsymbol { e_z }
\)
\(
= \ddot { x’ } \boldsymbol { e_{x’} } + \ddot { y’ } \boldsymbol { e_{y’} } + \ddot { z’ } \boldsymbol { e_{z’} }
+ 2 \boldsymbol { ω } \times ( \dot { x’ } \boldsymbol { e_{x’} } + \dot { y’ } \boldsymbol { e_{y’} } + \dot { z’ } \boldsymbol { e_{z’} } )
\)
\(
+ \boldsymbol { ω } \times [ \ \boldsymbol { ω } \times ( x’ \boldsymbol { e_{x’} } + y’ \boldsymbol { e_{y’} } + z’ \boldsymbol { e_{z’} } ) \ ]
\)

となり、⑤～⑧を代入すると、

\(
\boldsymbol { a } = \boldsymbol { a }’ + 2 \boldsymbol { ω } \times \boldsymbol { v }’ + \boldsymbol { ω } \times ( \boldsymbol { ω } \times \boldsymbol { r }’ )
\)　……⑨

となり、両座標系で加速度の関係式となる。

次に、ニュートンの運動方程式「\( m \boldsymbol { a } = \boldsymbol { F } \)」に⑨を代入すると

\(
m [ \ \boldsymbol { a }’ + 2 \boldsymbol { ω } \times \boldsymbol { v }’ + \boldsymbol { ω } \times ( \boldsymbol { ω } \times \boldsymbol { r }’ ) \ ] = \boldsymbol { F }
\)

となり、左辺を展開すると

\(
m \boldsymbol { a }’ + 2m \boldsymbol { ω } \times \boldsymbol { v }’ + m \boldsymbol { ω } \times ( \boldsymbol { ω } \times \boldsymbol { r }’ ) = \boldsymbol { F }
\)

となり、\( S’ \)系から眺めた運動方程式は、

\(
m \boldsymbol { a }’ = \boldsymbol { F } \ – \ 2m \boldsymbol { ω } \times \boldsymbol { v }’ \ – \ m \boldsymbol { ω } \times ( \boldsymbol { ω } \times \boldsymbol { r }’ )
\)　……⑩

となる。
⑩は、ニュートンの運動方程式と異なり、右辺の２項目と３項目が追加されていることからも、\( S’ \)系は慣性系でないことが分かる。この２項目と３項目が慣性力（見かけの力）であり、２項目を「コリオリ力」、３項目を「遠心力」と呼ぶ。

最後に、求まった慣性力の式を扱い易い式に変える。

コリオリ力

「\( – \ 2m \boldsymbol { ω } \times \boldsymbol { v }’ \)」だと、マイナスが付くのでプラスの式に直す。
「ベクトル積の性質」で述べたとおり、「交換法則」が成り立たなく、ベクトルの順番を入れ替えると向きが逆になる（符号が反転する）。つまり、マイナスからプラスに反転させるには、ベクトルの順番を入れ替えれば良い。
従ってコリオリ力の計算式は、

\(
\boldsymbol { F_{corr} }’ = 2m \boldsymbol { v }’ \times \boldsymbol { ω }
\)　……⑪

となる。

遠心力

\(
– \ m \boldsymbol { ω } \times ( \boldsymbol { ω } \times \boldsymbol { r }’ )
\)

「ベクトル積の性質」の「三重積」を利用して、ベクトル積を無くしスカラー積の計算式にする。

\(
= – \ m \ [ \ \boldsymbol { ω } ( \boldsymbol { ω } \cdot \boldsymbol { r }’ ) \ – \ \boldsymbol { r }’ ( \boldsymbol { ω } \cdot \boldsymbol { ω } ) \ ]
\)

\(
= \ m \boldsymbol { r }’ ( \boldsymbol { ω } \cdot \boldsymbol { ω } ) \ – \ m \boldsymbol { ω } ( \boldsymbol { ω } \cdot \boldsymbol { r }’ )
\)

• １項目 　　「スカラー積の性質」の「その他」（ \( \boldsymbol{ a } \cdot \boldsymbol{ a } = a ^ 2 \)）を利用。
• ２項目 　　「スカラー積の性質」の「交換法則」を利用。

\(
= \ m ω ^ 2 \boldsymbol { r }’ \ – \ m ( \boldsymbol { r }’ \cdot \boldsymbol { ω } ) \boldsymbol { ω }
\)

\( \boldsymbol { ω } \)方向の単位ベクトルを\( \boldsymbol { e_ω } \)とすると、\( \boldsymbol { ω } = ω \boldsymbol { e_ω } \)となり、これを代入する。

\(
= \ m ω ^ 2 \boldsymbol { r }’ \ – \ m ( \boldsymbol { r }’ \cdot ω \boldsymbol { e_ω } ) ω \boldsymbol { e_ω }
\)

「スカラー積の性質」の「スカラー倍」を利用。

\(
= \ m ω ^ 2 \boldsymbol { r }’ \ – \ m ω^2 ( \boldsymbol { r }’ \cdot \boldsymbol { e_ω } ) \boldsymbol { e_ω }
\)

\( \boldsymbol { r }’ \cdot \boldsymbol { e_ω } ={r_ω}’ \)を代入する。

※ 補足
\( \boldsymbol { r }’ \)と\( \boldsymbol { e_ω } \)（\( \boldsymbol { ω } \)方向の単位ベクトル）の成す角度を\( \boldsymbol { θ } \)とすると、スカラー積の定義により\( \boldsymbol { r }’ \cdot \boldsymbol { e_ω } = | \boldsymbol { r }’ | | \boldsymbol { e_ω } | \cos θ \)となり、\( | \boldsymbol { e_ω } | = 1 \)なので\( | \boldsymbol { r }’ | \cos θ = r’ \cos θ \)となる。
つまりり\( \boldsymbol { r }’ \cdot \boldsymbol { e_ω } \)は、\( \boldsymbol { r }’ \)に対する\( \boldsymbol { ω } \)軸成分の大きさを意味する。この大きさを\( {r_ω}’ \)と置くと、\( \boldsymbol { r }’ \cdot \boldsymbol { e_ω } = {r_ω}’ \)となる。そうすると、図４の紺色ベクトルは\( {r_ω}’ \boldsymbol { e_ω } \)となり、緑色ベクトルは\( r’ – {r_ω}’ \boldsymbol { e_ω } \)となる。

図４　回転軸から質点に向かうベクトル

\(
= \ m ω ^ 2 \boldsymbol { r }’ \ – \ m ω^2 \boldsymbol { {r_ω}’ } \boldsymbol { e_ω }
\)

\(
= \ m ω ^ 2 ( \boldsymbol { r }’ \ – \ \boldsymbol { {r_ω}’ } \boldsymbol { e_ω } )
\)

\( \boldsymbol { r }’ – \boldsymbol { {r_ω}’ } \boldsymbol { e_ω } = \boldsymbol { \xi }’ \)とし、代入する。

※ 補足
\( \boldsymbol { \xi }’ \)（図４の緑色ベクトル）を地球に当てはめると、地上にある質点と垂直にある地軸の位置を原点に取り、原点から質点に向かうベクトルを意味する。
なお、\( \boldsymbol { \xi } \)の読み方は、「クサイ」や「クシー」である。

\(
= \ m ω ^ 2 \boldsymbol { \xi }’
\)

となり、従って遠心力の計算式は、

\(
\boldsymbol { F_{cen} }’ = \ m ω ^ 2 \boldsymbol { \xi }’
\)　……⑫

となる。

以上を纏めると、自転している地球上（非慣性系の\( S’ \)系）の運動方程式は、⑩に⑪と⑫を代入することにより、次のとおりとなる。

\begin{align}
m \boldsymbol { a }’ &= \boldsymbol { F } + \boldsymbol { F_{corr} }’ + \boldsymbol { F_{cen} }’ \\
&= \boldsymbol { F } + 2m \boldsymbol { v }’ \times \boldsymbol { ω } + \ m ω ^ 2 \boldsymbol { \xi }’
\end{align}

※ 注意（\( \boldsymbol { r }’ \)について）
本導出の解説では、回転軸上にある原点\( O’ \)を始点とした質点の位置ベクトルを\( \boldsymbol { r }’ \)と定義したので、地軸から垂直に質点に向かうベクトルは\( \boldsymbol { r }’ \)を使用せず\( \boldsymbol { \xi }’ \)を使用した。一方で、導出した運動方程式には\( \boldsymbol { r }’ \)が消え、本導出の解説以外の本記事に於いては、この\( \boldsymbol { r }’ \)を使用することがない。このことから、本導出の解説以外では、地軸から垂直に質点に向かうベクトルを改めて\( \boldsymbol { r }’ \)と定義し、遠心力の計算式は\( m ω ^ 2 \boldsymbol { r }’ \)となっている。従って、本導出の解説内の\( \boldsymbol { r }’ \)と本導出の解説以外の\( \boldsymbol { r }’ \)は別物なので注意されたし。